Επίλυση εξισώσεων - ανισώσεων - συστημάτων

Εξισώσεις

Η εξίσωση.


           Clear["Global`*"]
eq = x^2 - 6 x + 7 == 0

ΔΙάφοροι τρόποι λύσης.


            Solve[eq, x]
NSolve[eq, x]
FindRoot[eq, {x, 2}]
Reduce[eq, x]

Σε υπερβατικές εξισώσεις αποδίδει μόνο η `NSolve` και η `FindRoot`.


             eqTr = 4 Cos[x] == x

Με `Solve`.


              Solve[eqTr, x]

Καμία απάντηση. Πάμε με `NSolve`.


                NSolve[eqTr, x]

Πάμε με `FindRoot`.


                 FindRoot[eqTr, {x, 1}]

Πάμε τέλος και με `Reduce`.


                  Reduce[eqTr, x]

Ανισώσεις


                  Reduce[x^2 - 9 > 0, x]

Συστήματα

Ακριβής λύση

Αρχίζουμε με απλή κατασκευή-επίλυση συστημάτων με `Solve`.


                   Clear["Global`*"]
eq1 = 3 x + 5 y == 1
eq2 = x^2 - y == 2
Solve[{eq1, eq2}, {x, y}]

Ακολούθως θα δούμε και άλλη προσέγγιση παραγωγής-λύσης συστημάτων. Έχουμε τις εξισώσεις:


                     Clear["Global`*"]
n = 4;
eqns = Table[Sum[(i^j - j^i) x[i], {i, 1, n}] == 3*j, {j, 1, n}];
TableForm[eqns]

Με μεταβλητές:


                      vars = Table[x[j], {j, 1, n}]

Λύνουμε το σύστημα αρχικά με `Solve`, για να έχουμε μέτρο σύγκρισης.


                       Solve[eqns, vars]

Ακολούθως θα δοκιμάσουμε και με το `LinearSolve`. Εξάγουμε αρχικά τους συντελεστές:


                        system = Normal[CoefficientArrays[eqns]]

Επειδή, όπως παρατηρούμε, οι σταθεροί όροι είναι οι αντίθετοι από τους προβλεπόμενους, το διάνυσμα των σταθερών όρων θα είναι το αντίθετο από αυτό που εξήχθη.


                         b = -system[[1]];
A = system[[2]];
b // MatrixForm
A // MatrixForm
MatrixPlot[A]

Κι έχουμε τη λύση μας.


                          f = LinearSolve[A]

Βρίσκουμε τη λύση


                           f[b]

Προσεγγιστική λύση


                           Clear["Global`*"]
eq1 = 3 x + 5 y == 1
eq2 = x^2 - y == 2
NSolve[{eq1, eq2}, {x, y}]


                           Clear["Global`*"]
f1[x_, y_] := x^2 + 4*x*y + y^2;
f2[x_, y_] := 5*x^2 - 4*x*y + 2*y^2;
ContourPlot[{f1[x, y] == 4, f2[x, y] == 8}, {x, -4, 4}, {y, -4, 4}]
sol1 = FindRoot[{f1[x, y] == 4, f2[x, y] == 8}, {{x, 0}, {y, 2.2}}];
sol2 = FindRoot[{f1[x, y] == 4, 
    f2[x, y] == 8}, {{x, 1.6}, {y, 0.4}}];
sol3 = FindRoot[{f1[x, y] == 4, f2[x, y] == 8}, {{x, 0}, {y, -2.1}}];
sol4 = FindRoot[{f1[x, y] == 4, 
    f2[x, y] == 8}, {{x, -.21}, {y, -0.2}}];
solList = {sol1, sol2, sol3, sol4};


                           For[i = 1, i <= 4, i++,
  Print[{x, y} /. solList[[i]]] ]